题目内容
椭圆
的离心率为
，且过点
直线
与椭圆M交于A、C两点，直线
与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形
（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值
的离心率为，且过点直线与椭圆M交于A、C两点，直线与椭圆M交于B、D两点，四边形ABCD是平行四边形（1）求椭圆M的方程；
（2）求证：平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O；
（3）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD的面积的最小值
（1）
；（2）详见解析；（3）最小值为
；（2）详见解析；（3）最小值为试题分析：（1）依题意有
，再加上
，解此方程组即可得
的值，从而得椭圆
的方程（2）由于四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD的对角线AC和BD的中点重合 利用（1）所得椭圆方程，联立方程组
消去
得：
，显然点A、C的横坐标是这个方程的两个根，由此可得线段
的中点为
同理可得线段
的中点为
，由于中点重合，所以
，解得：
或
(舍)这说明和都过原点即相交于原点
（3）由于对角线过原点且该四边形为菱形，所以其面积为
由方程组
易得点A的坐标（用
表示），从而得
（用表示）；同理可得
（由于
，故仍可用表示）这样就可将表示为的函数，从而求得其最小值 试题解析：（1）依题意有
，又因为，所以得
故椭圆
的方程为 3分（2）依题意，点
满足所以
是方程的两个根得
所以线段
的中点为 同理，所以线段
的中点为 5分因为四边形
是平行四边形，所以解得，
或(舍)即平行四边形
的对角线和相交于原点 7分（3）点
满足所以
是方程
的两个根，即
故
同理，
9分又因为
，所以
，其中
从而菱形
的面积
为
， 整理得
，其中 10分故，当
或
时，菱形的面积最小，该最小值为 12分
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的右焦点
，长轴的左、右端点分别为
,且
.
的方程；
（
）的直线
交椭圆
两点，弦
的垂直平分线与
轴相交于
点. 试问椭圆
使得四边形
为菱形？若存在，求
的一个顶点
为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形
，试问：（1）这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在，说明理由。（2）这样的等腰直角三角形若存在，最多有几个？
：
（
）的焦距为
，且过点（
，
），右焦点为
．设
，
是
的中点
的横坐标为
，线段
，
两点．
的取值范围．
)，且长轴长与短轴长的比是
的左焦点为
，右焦点为
，过
两点，
的周长为8，且
面积最大时，
的方程；
与椭圆
，且与直线
相交于点
，证明：点
在以
为直径的圆上.
的离心率为
，
轴被曲线
截得的线段长等于
的短轴长。
与
轴的交点为
，过坐标原点
的直线
与
，直线
分别与
。
。
的面积分别为
，若
，求
的取值范围。
与椭圆
中心在原点，焦点均在
轴上，且离心率相同．椭圆
，且椭圆
被椭圆
长为
，已知点
是椭圆
为椭圆
为椭圆
刚好平分
，求点
在椭圆
满足
，则直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
) 