题目内容

已知椭圆的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过焦点斜率为)的直线交椭圆两点,弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
(1);(2)

试题分析:(1)由椭圆的右焦点,即.又长轴的左、右端点分别为,且,即可得,即可求出.从而得到椭圆的方程.
(2)由(1)可得假设直线AB的方程联立椭圆方程消去y即可得到一个关于x的二次方程,由韦达定理得到根与直线斜率k的关系式.写出线段AB的中点坐标以及线段AB的垂直平分线的方程.即可得到点D的坐标.假设存在点E由于对称性本小题的问题等价转化为即可.所以表示出点E的坐标.代入椭圆方程根据的解得情况即可结论.
试题解析:(1)依题设,则.
,解得,所以.
所以椭圆的方程为
(2)依题直线的方程为.
.
,,弦的中点为

所以.
直线的方程为
,得,则.
若四边形为菱形,则.
所以.
若点在椭圆上,则.
整理得,解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.
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