Question

已知函数f（x）=cos²x+sinx，那么下列命题中假命题是（　　）

• A、f（x）既不是奇函数也不是偶函数
• B、f（x）在(

  π

  2

  ，

  5π

  6

  )上是增函数
• C、f（x）是周期函数
• D、f（x）在[-π，0]上恰有一个零点

Answer 1

分析：先利用特殊值法判断 A为真命题；再利用导数证明函数f′（x）在(

π

2

，

5π

6

)上恒正，从而B为真命题；利用函数周期性定义和诱导公式可证明C为真命题；故选D

解答：解：f（0）=1，故此函数不是奇函数，f（

π

2

）=1，f（-

π

2

）=-1，故函数不是偶函数，故 A为真命题；
∵f′（x）=-2cosxsinx+cosx=cosx（1-2sinx），当x∈(

π

2

，

5π

6

)时，sinx∈（

1

2

，1），1-2sinx＜0，cosx＜0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在(

π

2

，

5π

6

)上是增函数，B为真命题；
∵f（x+2π）=cos²（x+2π）+sin（x+2π）=cos²x+sinx=f（x），∴f（x）是周期函数，故C为真命题；
令cos²x+sinx=0，即-sin²x+sinx+1=0，sinx=

1+ 5

2

（舍去）或sinx=

1- 5

2

，在[-π，0]上有两个零点，故D为假命题；
故选D

点评：本题主要考查了函数的奇偶性及其判断方法，三角函数的单调性及其判断方法，函数周期定义即三角方程的解法，属基础题