Question

3．设二次函数y=x²+（a+1）²+|x+a-1|的最小值y_min＞5，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先去掉绝对值，化为分段函数的形式，再分别让两段函数的最小值及分界点处的函数值均大于5，求实数a的取值范围即可．

解答 解：二次函数y=x²+（a+1）²+|x+a-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+{a}^{2}+a+2，x＜1-a\\{x}^{2}+x+{a}^{2}+3a，x≥1-a\end{array}\right.$，
若二次函数y=f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|的最小值y_min＞5，
有资格取最小值的就三个点，负二分之一，二分之一，1-a，只要这三个点的值均大于5就可以了，
即$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{1}{2}）＞5\\ f（-\frac{1}{2}）＞5\\ f（1-a）＞5\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）}^{2}-\frac{1}{2}+{a}^{2}+a+2＞5\\{（-\frac{1}{2}）}^{2}-\frac{1}{2}+{a}^{2}+3a＞5\\（1-a）^{2}+（a+1）^{2}＞5\end{array}\right.$，
解得：a＜$\frac{-3-\sqrt{30}}{2}$，或a＞$\frac{-1+\sqrt{14}}{2}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．