Question

7．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．
（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；
（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为$\frac{1}{3}$，去京东网购物的概率为$\frac{2}{3}$，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A_i，则$P（{A}_{i}）={C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．
（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A₀）+P（A₄），P（X=3）=P（A₁）+P（A₃），P（X=4）=P（A₂），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为$\frac{1}{3}$，去京东网购物的概率为$\frac{2}{3}$，
设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A_i（i=0，1，2，3，4），
则$P（{A}_{i}）={C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4），
这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率$P（{A}_{1}）={C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$．
（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，
P（X=0）=P（A₀）+P（A₄）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}+{C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（X=3）=P（A₁）+P（A₃）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$+${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{40}{81}$，
P（X=4）=P（A₂）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
∴X的分布列为：

X	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

∴EX=$0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．