Question

下面四个计算题中，结果正确的是

①②③

．（填序号）
①若|

a

|=2，|

b

|=3，且

a

与

b

的夹角为60⁰，则|

a

-

b

|=

7

；
②棱长为2正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BDD₁B₁的距离为d，则d=

2

；
③棱长都是1的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=600，则对角线的长AC1=

6

；
④在120⁰的二面角α-AB-β中AC?α，BD?β，AB⊥AC，AB⊥BD，AB=AC=BD=1，则点C与D的距离CD=

2

．

Answer 1

分析：利用平方法，可由已知求出|

a

-

b

|2，进而求出|

a

-

b

|，判断出①的真假；
根据正方体的几何特征，可得A与底面中心的之间的距离即为A到对角面的距离，进而判断出②的真假；
利用余弦定理和三余弦定理，求出棱长都是1且∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=600的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线AC₁的长，进而判断③的真假；
利用异面直线上两点之间距离公式，求出CD的长，可判断④的真假．

解答：解：∵|

a

|=2，|

b

|=3，且

a

与

b

的夹角为60⁰，∴

a

2=4，

b

2=9，

a

•

b

=3，则|

a

-

b

|2=4+9-2×3=7，则|

a

-

b

|=

7

；
连接AC，BD，交点为O，由正方体的几何特征可得d=OA=

2

2

AB=

2

；
棱长都是1的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=600，则AC=

3

，cos∠ACC₁=-

3

3

，由余弦定理可得，对角线的长AC1=

6

；
在120⁰的二面角α-AB-β中AC?α，BD?β，AB⊥AC，AB⊥BD，AB=AC=BD=1，则点C与D的距离CD=2．
故答案为：①②③

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的模，正方体的几何特征，平行六面体的几何特征，异面直线上两点间距离公式，计算量比较大，难度也比较大．