Question

下面四个计算题中，结果正确的是    ．（填序号）
①若，且的夹角为60，则；
②棱长为2正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面BDD₁B₁的距离为d，则；
③棱长都是1的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，则对角线的长；
④在120的二面角α-AB-β中AC?α，BD?β，AB⊥AC，AB⊥BD，AB=AC=BD=1，则点C与D的距离．

Answer 1

【答案】分析：利用平方法，可由已知求出，进而求出，判断出①的真假；
根据正方体的几何特征，可得A与底面中心的之间的距离即为A到对角面的距离，进而判断出②的真假；
利用余弦定理和三余弦定理，求出棱长都是1且的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线AC₁的长，进而判断③的真假；
利用异面直线上两点之间距离公式，求出CD的长，可判断④的真假．
解答：解：∵，且的夹角为60，∴，，则=7，则；
连接AC，BD，交点为O，由正方体的几何特征可得d=OA=AB=；
棱长都是1的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，则AC=，cos∠ACC₁=-，由余弦定理可得，对角线的长；
在120的二面角α-AB-β中AC?α，BD?β，AB⊥AC，AB⊥BD，AB=AC=BD=1，则点C与D的距离CD=2．
故答案为：①②③
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的模，正方体的几何特征，平行六面体的几何特征，异面直线上两点间距离公式，计算量比较大，难度也比较大．