Question

附加题：（选做题：在下面A、B、C、D四个小题中只能选做两题）
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，
已知AB=6，CD=2

5

，求线段AC的长度．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=1及对应的一个特征向量e1=

1 1

和特征值λ₂=2及对应的一个特征向量e2=

1 0

，试求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是

y=sinθ+1 x=cosθ

（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
D．选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：A．连接BC，设AB，CD相交于点E，AE=x，由AB是线段CD的垂直平分线，知AB是圆的直径，∠ACB=90°，则EB=6-x，CE=

5

．由射影定理得x（6-x）=5，由此能求出线段落AC的长度．
B．设矩阵A=

ab cd

，这里a，b，c，d∈R，因为

1 1

是矩阵A的属于λ₁=1的特征向量，所以

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

，因为

1 0

是矩阵A的属于λ₂=2的特征向量，所以

2-a-b -c1-d

1 0

=

0 0

，由此能求出矩阵A．
C．由

y=sinθ+1 x=cosθ

得

y-1=sinθ x=cosθ

，两式平方后相加得x²+（y-1）²=1，所以曲线C是以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．由此能求出曲线C的极坐标方程．
D．（1）当a=1时，得2|x-1|≥1，由此能求出不等式的解集．
（2）由|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，知原不等式解集为R等价于|a-1|≥1．由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：A．（选修4-l：几何证明选讲）
连接BC设AB，CD相交于点E，AE=x，
∵AB是线段CD的垂直平分线，
∴AB是圆的直径，∠ACB=90°（2分）
则EB=6-x，CE=

5

．由射影定理得CE²=AE•EB，
即有x（6-x）=5，解得x=1（舍）或x=5（8分）
∴AC²=AE•AB=5×6=30，即AC=

30

．（10分）

B．（选修4-2：矩阵与变换）
设矩阵A=

ab cd

，这里a，b，c，d∈R，
因为

1 1

是矩阵A的属于λ₁=1的特征向量，
则有

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

①，（4分）
又因为

1 0

是矩阵A的属于λ₂=2的特征向量，
则有

2-a-b -c1-d

1 0

=

0 0

②，（6分）
根据①②，则有

1-a-b=0    -c+1-d=0    2-a=0    -c=0

（8分）
从而a=2，b=-1，c=0，d=1，
因此A=

2-1 01

，（10分）
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
由

y=sinθ+1 x=cosθ

得

y-1=sinθ x=cosθ

，
两式平方后相加得x²+（y-1）²=1，（4分）
∴曲线C是以（0，1）为圆心，半径等于1的圆
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入并整理得ρ=2sinθ．即曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ． （10分）
D．（选修4-5：不等式选讲）
（1）当a=1时，得2|x-1|≥1，即|x-1|≥

1

2

，
解得x≥

3

2

或x≤

1

2

，
∴不等式的解集为(-∞，

1

2

]∪[

3

2

，+∞)．   （5分）
（2）∵|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，
∴原不等式解集为R等价于|a-1|≥1．
∴a-1≥1，或a-1≤-1．
∴a≥2，或a≤0．
∵a＞0，∴a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．   （10分）

点评：A．本题考查线段长度的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的灵活运用．
B．本题考查矩阵与变换的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意特征方程和特征值的合理运用．
C．本题考查参数方程和极坐标方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意把极坐标方程恰当地转化为普通方程．
D．本题考查不等式的解法和求实数a的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意含绝对值不等式性质的合理运用．