题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
(
为参数),将曲线
上的所有点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的
后得到曲线
;以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线和直线
的直角坐标方程;
(2)已知,设直线
与曲线
交于不同的
、
两点,求
的值.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
(1)利用两角差的正弦公式将直线的极坐标方程变形为
,由此可将直线
的极坐标方程化为直角坐标方程,利用伸缩变换可得出曲线
的参数方程,消参后可得出曲线
的直角坐标方程;
(2)可知点在直线
上,且该直线的倾斜角为
,可得出直线
的参数方程为
(
为参数),然后将直线
的参数方程与曲线
的直角坐标方程联立,得到关于
的一元二次方程,利用韦达定理可求出
.
(1)直线的极坐标方程为
,化简得
,
化为直角坐标方程为.
将曲线(
为参数)上的所有点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的
后得到曲线
,则曲线
的参数方程为
(
为参数),
消参后得,
因此,曲线的直角坐标方程为
;
(2)由题意知在直线
上,又直线
的倾斜角为
,
所以直线的参数方程为
(
为参数),
设、
对应的参数分别为
、
,
将直线的参数方程代入
中,得
.
因为在
内,所以
恒成立,由韦达定理得
,
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校将一次测试中高三年级学生的数学成绩统计如下表所示,在参加测试的学生中任取1人,其成绩不低于120分的概率为.
分数 | |||||||
频数 | 40 | 50 | 70 | 60 | 80 | 50 |
(1)求的值;
(2)若按照分层抽样的方法从成绩在、
的学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行错题分析,求这2人中至少有1人的分数在
的概率.
【题目】某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”.现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数,
表示每天使用扫码支付的人次,统计数据如下表所示:
(1)根据散点图判断,在推广期内,扫码支付的人次关于活动推出天数
的回归方程适合用
来表示,求出该回归方程,并预测活动推出第
天使用扫码支付的人次;
(2)推广期结束后,商场对顾客的支付方式进行统计,结果如下表:
支付方式 | 现金 | 会员卡 | 扫码 |
比例 |
商场规定:使用现金支付的顾客无优惠,使用会员卡支付的顾客享受折优惠,扫码支付的顾客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的顾客,享受
折优惠的概率为
,享受
折优惠的概率为
,享受
折优惠的概率为
.现有一名顾客购买了
元的商品,根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率,估计该顾客支付的平均费用是多少?
参考数据:设,
,
,
参考公式:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.