Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知Sn=

n2+3n

2

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=

an，n为奇数 2n，n为偶数

，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=s₁，n≥2时，a_n=s_n-s_n-1可求
（2）结合数列的通项公式的特点，考虑对n分为偶数，两种情况，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解

解答：解：（1）当n=1时，a₁=s₁=2
n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1
当n=1时，a₁=2适合上式
故a_n=n+1
（2）当n为偶数时，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）
=（2+4+…+n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）
=

(2+n)• n 2

2

+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

n(n+2)

4

+

4(2n-1)

3

当n为奇数时，n-1为偶数
T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）
=（2+4+…+n+1）+（2²+2⁴+…+2^n-1）
=

(3+n)• n+1 2

2

+

4(1-4 n-1 2 )

1-4

=

n2+4n+3

4

+

4(2n-1-1)

3

∴Tn=

n(n+2) 4 + 4(2n-1) 3 ，n为偶数 (n+1)(n+3) 4 + 4(2n-1-1) 3 ，n为奇数

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及等差数列与等比数列的求和公式及分组求和方法的应用．