题目内容
甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为
,且各局胜负相互独立,比赛停止时一共已打
局:
(1)列出随机变量的分布列;
(2)求的期望值E
.
(1)
(2)ξ 2 4 6 P
解析试题分析:(1)先列出随机变量所有可能值,为2,4,6.再分别讨论三种情况下,两者输赢情况,需全面考虑,不能遗漏,如
时,甲可以全赢,也可全输,不能一赢一输;
时,前两局必是甲一赢一输;而后两局必是某人全赢;
时,可利用概率和为
,求其“补集”即可;也可直接计算,此时需要注意前四局分布情况是:前两局必是甲一赢一输;接下来的两局也必是甲一赢一输,但最后的两局却没有限制;(2)利用期望值计算公式Eξ=2×
+4×
+6×
=
试题解析:解法1:
(1)依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为()2+(
)2=
. 4分
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从在则有, 7分
∴ξ的分布列为
9分ξ 2 4 6 P
(2)Eξ=2×+4×
+6×
=
. 12分
解法2:(1)依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.
令Ak表示甲在第k局比赛中获胜,则k表示乙在第k局比赛中获胜.
由独立性与互斥性得=P(A1A2)+P(
)=
, 2分
=P(
)+P(
)+P(
)+P(
)
=2[()3(
)+(
)3(
)]=
, 4分
=P(
)+P(
)+P(
)+P(
)
=4()2(
)2=
, 7分
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