Question

如图,三棱柱ABCA₁B₁C₁中,CA=CB,AB=AA₁,∠BAA₁=60°.

(1)证明:AB⊥A₁C;
(2)若AB=CB=2,A₁C=,求三棱柱ABCA₁B₁C₁的体积.

Answer 1

(1)见解析   (2)3

(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA₁,A₁B.

因为CA=CB,所以OC⊥AB.
由于AB=AA₁,∠BAA₁=60°,
故△AA₁B为等边三角形,
所以OA₁⊥AB.
因为OC∩OA₁=O,
所以AB⊥平面OA₁C.
又A₁C?平面OA₁C,故AB⊥A₁C.
(2)解:由题设知△ABC与△AA₁B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA₁=.
又A₁C=,则A₁C²=OC²+O,故OA₁⊥OC.
因为OC∩AB=O,所以OA₁⊥平面ABC,OA₁为三棱柱ABCA₁B₁C₁的高.
又△ABC的面积S_△ABC=,故三棱柱ABCA₁B₁C₁的体积V=S_△ABC×OA₁=3.