题目内容
在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为线段BC的中点,E、F为线段AC的三等分点(如图①).将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置,连结B′C(如图②).
图①
图②
(1)若平面AB′D⊥平面ADC,求三棱锥B′-ADC的体积;
(2)记线段B′C的中点为H,平面B′ED与平面HFD的交线为l,求证:HF∥l;
(3)求证:AD⊥B′E.
图①
图②
(1)若平面AB′D⊥平面ADC,求三棱锥B′-ADC的体积;
(2)记线段B′C的中点为H,平面B′ED与平面HFD的交线为l,求证:HF∥l;
(3)求证:AD⊥B′E.
(1)(2)见解析(3)见解析
(1)解:在直角△ABC中,D为BC的中点,所以AD=BD=CD.又∠B=60°,所以△ABD是等边三角形.取AD中点O,连结B′O,所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC,平面AB′D∩平面ADC=AD,B′O平面AB′D,所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为BC的中点,所以AC=,B′O=.所以S△ADC=××1×=.所以三棱锥B′ADC的体积为V=×S△ADC×B′O=.
(2)证明:因为H为B′C的中点,F为CE的中点,所以HF∥B′E.又HF∥平面B′ED, B′E?平面B′ED,所以HF∥平面B′ED.因为HF平面HFD,平面B′ED∩平面HFD=l,所以HF∥l.
(3)证明:连结EO,由(1)知,B′O⊥AD.
因为AE=,AO=,∠DAC=30°,
所以EO=.
所以AO2+EO2=AE2.所以AD⊥EO.
又B′O平面B′EO,EO平面B′EO,B′O∩EO=O,
所以AD⊥平面B′EO.
又B′E平面B′EO,所以AD⊥B′E.
(2)证明:因为H为B′C的中点,F为CE的中点,所以HF∥B′E.又HF∥平面B′ED, B′E?平面B′ED,所以HF∥平面B′ED.因为HF平面HFD,平面B′ED∩平面HFD=l,所以HF∥l.
(3)证明:连结EO,由(1)知,B′O⊥AD.
因为AE=,AO=,∠DAC=30°,
所以EO=.
所以AO2+EO2=AE2.所以AD⊥EO.
又B′O平面B′EO,EO平面B′EO,B′O∩EO=O,
所以AD⊥平面B′EO.
又B′E平面B′EO,所以AD⊥B′E.
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