已知A.B是球O球面上的两点.∠AOB=90°.C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36.则球O的表面积为144π．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

9．已知A、B是球O球面上的两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为144π．

分析当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用三棱锥O-ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．

解答解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V_O-ABC=V_C-AOB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{R}^{2}×R$=$\frac{1}{6}{R}^{3}$=36，
故R=6，则球O的表面积为4πR²=144π，
故答案为：144π．

点评本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．

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