Question

如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AB，CD⊥DA，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E、F分别为PC，PD的中点，PA=AD=AB．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）证明：平面BEF⊥平面PDC；
（3）求BC与平面PDC所成的角．

Answer 1

分析：（1）利用直线与平面平行的判定定理直接证明：EF∥平面PAB；
（2）通过证明BE⊥平面PDC，BE?平面BEF，然后证明平面BEF⊥平面PDC；
（3）找出BC与平面PDC所成的角，利用直角三角形求解直线与平面所成角的大小．

解答：证明：（1）如图：因为E，F分别是∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB，
EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB；
（2）连结AF，∵EF

∥

.

1

2

DC，AB

∥

.

1

2

DC，∴EF

∥

.

AB，所以四边形ABSF为平行四边形，
∴BS∥AF，∵PA=AD，F为PD的中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，∴AF⊥平面PDC，
∴BE⊥平面PDC，∵BE?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PDC；
（3）由（2）可知BE⊥平面PDC，
∴∠BCE是BC与平面PDC所成的角．
设AB=1，∵PA=AD=AB，
∴BE=AF=

2

2

，BC=

2

在Rt△BEC中，sin∠BCE=

BE

BC

=

2 2

2

=

1

2

，
∴∠BCE=30°，
BC与平面PDC所成的角为30°．

点评：本题考查直线与平面的平行，平面与平面垂直的判断，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．