题目内容

设a∈R，f（x）为奇函数，且 $数学公式$ ．
（1）求a的值及f（x）的解析式和值域；
（2） $数学公式$ ，若 $数学公式$ 时， $数学公式$ 恒成立，求实数k的取值范围．

解：（1）令t=2x，得f （x）= $\text{[math]}$ -------------------------------
∵f （x）是奇函数，∴f（0）=0，解之可得a=1
∴函数的解析式为f（x）= $\text{[math]}$ -----------------------------
∵由y= $\text{[math]}$ 解出2^x= $\text{[math]}$ ＞0，解之得-1＜y＜1
∴值域为（-1，1）-------------------------------------------------
（2） $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 对x∈ $\text{[math]}$ 恒成立
即： $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
不等式 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 对x∈ $\text{[math]}$ 恒成立------
即 $\text{[math]}$ ----①，对于x∈ $\text{[math]}$ 恒成立
由①，得k²≤1-x²对于x∈ $\text{[math]}$ 恒成立---------------------------
∴k²≤1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解之得0＜k≤ $\text{[math]}$ ----------------------------------
分析：（1）由奇函数的特性f（0）=0，解出a=1可得f（x）的解析式为f（x）= $\text{[math]}$ ．再由指数函数的值域，解关于y的不等式即可求出f（x）的值域；
（2）将原不等式化简，可得 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 对x∈ $\text{[math]}$ 恒成立，由此结合对数函数的单调性和定义域，化简得到k²≤1-x²对于x∈ $\text{[math]}$ 恒成立，可得实数k的取值范围．
点评：本题给出含有指数式的分式型函数，求函数的奇偶性和值域，并依此讨论不等式恒成立时实数k的范围．着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性和函数恒成立问题等知识，属于中档题．