题目内容

已知f(x)=-x2+2ax+1-a.
(1)若f(x)在[0,1]上的最大值是2,求实数a的值;
(2)设M={a∈R:f(x)在区间[-2,3]上的最小值为-1},试求M;
(3)是否存在实数a使f(x)在[-4,2]上的值域为[-12.,13]?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
分析:(1)先求对称轴,比较对称轴和区间的关系,利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大来解题.
(2)根据函数f(x)=-x2+2ax+1-a,分区间[-2,3]在对称轴的左侧,右侧,两侧三种情况进行讨论,根据f(x)在区间[-2,3]上的最小值为-1,构造a的方程,判断是否有满足条件的解,最后综合讨论结果,即可得到答案.
(3)根据函数f(x)=-x2+2ax+1-a,分区间对称轴[-4,2]左侧,右侧,在区间上但在中点左侧,右侧四种情况进行讨论,根据f(x)在[-4,2]上的值域为[-12,13],构造a的方程,判断是否有满足条件的解,最后综合讨论结果,即可得到答案.
解答:解:(1)对称轴x=a,
当a<0时,[0,1]是f(x)的递减区间,f(x)max=f(0)=1-a=2,∴a=-1;
当a>1时,,[0,1]是f(x)的递增区间,f(x)max=f(1)=a=2,∴a=2;
当0≤a≤1时,f(x)max=f(a)=)=a2-a+1=2,解得a=
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,与0≤a≤1矛盾;
所以a=-1或a=2.
(2)当a<-2时,区间[-2,3]是f(x)的递减区间,f(x)min=f(3)=5a-8<-18,不满足要求;
当a>3时,区间[-2,3]是f(x)的递增区间,f(x)min=f(-2)=-5a-3<18,不满足要求;
当-2≤a≤3时,f(x)min=f(a)=a2-a+1≥
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不满足要求;
综上不存在满足条件的a值,故M=Φ.
(3)当a<-4时,区间[-4,2]是f(x)的递减区间,则若f(x)min=f(2)=-12,则a=-3,不满足要求;
当a>2时,区间[-4,2]是f(x)的递增区间,则若f(x)min=f(-4)=-12,则a=-
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,不满足要求;
当-4≤a≤-1时,f(x)min=f(2)=3a-3=-12,则a=-3,此时f(x)max=f(a)=a2-a+1=13,满足要求;
当-1≤a≤2时,f(x)min=f(-4)=-9a-15=-12,则a=-
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,此时f(x)max=f(a)=a2-a+1=
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,不满足要求;
综上,在实数a=-3满足条件.
点评:此题是个中档题.本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题.关于不定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题,一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论,如轴在区间左边,轴在区间右边,轴在区间中间,最后在综合归纳得出所需结论
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