题目内容
设a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+sin2x的定义域是.给出下列几个命题:
①f(x)在处取得小值;
②是f(x)的一个单调递减区间;
③f(x)的最大值为2;
④使得f(x)取得最大值的点仅有一个.
其中正确命题的序号是________.(将你认为正确命题的序号都填上)
②③④
分析:利用二倍角公式化简函数f(x),然后由f()=,求出a的值,进一步化简为f(x)=2sin(2x-),然后根据x的范围求出2x-的范围,利用单调性求出函数的最大值和最小值.根据函数单调性及最值即可选出答案.
解答:f(x)=cosx(asinx-cosx)+sin2x=asinxcosx-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x,
由f()=,得=,解得a=2.
所以f(x)=2sin(2x-),
当x∈[,]时,2x-∈[,],f(x)是增函数,
当x∈[,]时,2x-∈[,],f(x)是减函数,
所以函数f(x)在[,]上的最大值是:f()=2,
故③正确;
且当f(x)取得最大值的点仅有一个.
故④正确;
由上述单调性知:是f(x)的一个单调递减区间,
故②正确;
又f()=,f()=,
所以函数f(x)在[,]上的最小值为:f()=;
故①错误.
故答案为:②③④.
点评:本题是中档题,考查三角函数的化简,二倍角公式的应用,三角函数的求值,函数的单调性、最值,考查计算能力,常考题型.
分析:利用二倍角公式化简函数f(x),然后由f()=,求出a的值,进一步化简为f(x)=2sin(2x-),然后根据x的范围求出2x-的范围,利用单调性求出函数的最大值和最小值.根据函数单调性及最值即可选出答案.
解答:f(x)=cosx(asinx-cosx)+sin2x=asinxcosx-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x,
由f()=,得=,解得a=2.
所以f(x)=2sin(2x-),
当x∈[,]时,2x-∈[,],f(x)是增函数,
当x∈[,]时,2x-∈[,],f(x)是减函数,
所以函数f(x)在[,]上的最大值是:f()=2,
故③正确;
且当f(x)取得最大值的点仅有一个.
故④正确;
由上述单调性知:是f(x)的一个单调递减区间,
故②正确;
又f()=,f()=,
所以函数f(x)在[,]上的最小值为:f()=;
故①错误.
故答案为:②③④.
点评:本题是中档题,考查三角函数的化简,二倍角公式的应用,三角函数的求值,函数的单调性、最值,考查计算能力,常考题型.
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