题目内容
（2012•安徽模拟）设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin2x的定义域是[
，
π]，f(
)=
．给出下列几个命题：
①f（x）在x=
处取得小值；
②[
π，
π]是f（x）的一个单调递减区间；
③f（x）的最大值为2；
④使得f（x）取得最大值的点仅有一个x=
．
其中正确命题的序号是
| π |
| 4 |
| 11 |
| 24 |
| π |
| 4 |
| 3 |
①f（x）在x=
| π |
| 4 |
②[
| 5 |
| 12 |
| 11 |
| 24 |
③f（x）的最大值为2；
④使得f（x）取得最大值的点仅有一个x=
| π |
| 3 |
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．（将你认为正确命题的序号都填上）分析：利用二倍角公式化简函数f（x），然后由f（
）=
，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x-
），然后根据x的范围求出2x-
的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．根据函数单调性及最值即可选出答案．
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin2x=asinxcosx-cos2x+sin2x=
sin2x-cos2x，
由f（
）=
，得
=
，解得a=2
．
所以f（x）=2sin（2x-
），
当x∈[
，
]时，2x-
∈[
，
]，f（x）是增函数，
当x∈[
，
]时，2x-
∈[
，
]，f（x）是减函数，
所以函数f（x）在[
，
]上的最大值是：f（
）=2，
故③正确；
且当f（x）取得最大值的点仅有一个x=
．
故④正确；
由上述单调性知：[
π，
π]是f（x）的一个单调递减区间，
故②正确；
又f（
）=
，f（
）=
，
所以函数f（x）在[
，
]上的最小值为：f（
）=
；
故①错误．
故答案为：②③④．
| a |
| 2 |
由f（
| π |
| 4 |
| 3 |
| a |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
所以f（x）=2sin（2x-
| π |
| 6 |
当x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
当x∈[
| π |
| 3 |
| 11π |
| 24 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
所以函数f（x）在[
| π |
| 4 |
| 11π |
| 24 |
| π |
| 3 |
故③正确；
且当f（x）取得最大值的点仅有一个x=
| π |
| 3 |
故④正确；
由上述单调性知：[
| 5 |
| 12 |
| 11 |
| 24 |
故②正确；
又f（
| π |
| 4 |
| 3 |
| 11π |
| 24 |
| 2 |
所以函数f（x）在[
| π |
| 4 |
| 11π |
| 24 |
| 11π |
| 24 |
| 2 |
故①错误．
故答案为：②③④．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．
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