Question

设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x的定义域是．给出下列几个命题：
①f（x）在处取得小值；
②是f（x）的一个单调递减区间；
③f（x）的最大值为2；
④使得f（x）取得最大值的点仅有一个．
其中正确命题的序号是    ．（将你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

【答案】分析：利用二倍角公式化简函数f（x），然后由f（）=，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x-），然后根据x的范围求出2x-的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．根据函数单调性及最值即可选出答案．
解答：解：f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x=asinxcosx-cos²x+sin²x=sin2x-cos2x，
由f（）=，得=，解得a=2．
所以f（x）=2sin（2x-），
当x∈[，]时，2x-∈[，]，f（x）是增函数，
当x∈[，]时，2x-∈[，]，f（x）是减函数，
所以函数f（x）在[，]上的最大值是：f（）=2，
故③正确；
且当f（x）取得最大值的点仅有一个．
故④正确；
由上述单调性知：是f（x）的一个单调递减区间，
故②正确；
又f（）=，f（）=，
所以函数f（x）在[，]上的最小值为：f（）=；
故①错误．
故答案为：②③④．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．