Question

【题目】若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣3]∪[ ，+∞）
【解析】解：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，
即（4xy﹣4）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，
变形可得2xy（2a2+1）≥4a2﹣2a+34恒成立，
即xy≥ 恒成立，
∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2 ，
∴4xy=x+2y+4≥4+2 ，
即2 ﹣ ﹣2≥0，解不等式可得 ≥ ，或 ≤﹣ （舍负）
可得xy≥2，要使xy≥ 恒成立，只需2≥ 恒成立，
化简可得2a2+a﹣15≥0，
即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥ ，
所以答案是：（﹣∞，﹣3]∪[ ， +∞）
【考点精析】关于本题考查的基本不等式，需要了解基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：才能得出正确答案．