Question

19．已知P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a、b是正数）上任意一点，则P到两条渐近线的距离之积为$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 利用点到直线的距离公式，结合双曲线方程，即可得出结论．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的任一点P（x，y），两条渐近线方程为bx±ay=0，
∴双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的任一点到两条渐近线距离之积为$\frac{（bx+ay）（bx-ay）}{（\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}）^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
故答案为：$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

点评 本题考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．