题目内容
对于无穷数列
和函数
，若
，则称是数列的母函数.
（Ⅰ）定义在
上的函数
满足：对任意
，都有
，且
；又数列
满足：
.
求证：(1)
是数列
的母函数；
(2)求数列的前项
和
.
（Ⅱ）已知
是数列
的母函数，且
.若数列
的前项和为
，求证：
.
（Ⅰ）(1) 由题知
，
，
是数列的母函数
(2) 
（Ⅱ）
，，
从而是以
为首项，
为公比的等比数列
又
故当
时，有
，化简得结论
解析试题分析：（Ⅰ）(1)由题知，且
.是数列的母函数；
(2) 由(1) 知：是首项和公差均为
的等差数列，故
.
①
②
①-②得：
.
.
（Ⅱ）由题知：，. 
.
从而是以为首项，为公比的等比数列..
又
故当时，有：
.
考点：信息题及数列求和
点评：求解本题首先要正确理解所给信息母函数的实质，将其性质代入相应的函数式中推理；第一问的数列求和用到了错位相减法，这种方法是数列求和题常用到的方法，其适用于通项公式为关于n的一次函数式与指数式的乘积形式的数列
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，数列
满足
。
；
中，
，满足
。
为等差数列;
项和
.
，
满足：
．
，求数列
，且
．
，求证：数列
为等差数列；
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项
应满足的条件．
的前
项和为
，
，
，
，
．
的前
为奇函数，且在点
的切线方程为
的表达式；
的各项都是正数,且对于
,都有
,求数列
和通项公式；
满足
,求数列
的前
项和为
，且方程
有一个根为
，
．
是等差数列；
，数列
的前
，求
的值；
，使得
，
，
成等比数列，若存在，求出满足条件的
为等比数列，
；
为等差数列
的前n项和，
.
，求
中，
，求数列
的前n项和
.