Question

【题目】已知中心在原点的双曲线的右焦点为，直线与双曲线的一个交点的横坐标为．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）将点（2，3）代入双曲线方程，运用双曲线的焦点坐标和a，b，c的关系，解方程即可得到，，进而得到双曲线的方程；

（2）直线l的方程为，代入双曲线的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

（1）设双曲线的标准方程是，

由题可知：点在双曲线上，

从而有 ，解得

所以双曲线的标准方程为

（2）由已知得直线的方程为即

所以 原点到直线的距离

联立消去可得

设，则

所以 ，

所以 的面积.