题目内容
【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)函数与函数
的图像总有两个交点,设这两个交点的横坐标分别为
,
.
(ⅰ)求的取值范围;
(ⅱ)求证:.
【答案】(1)(2)(ⅰ)
,(ⅱ)见解析
【解析】
(1)求出的导数,求得切线的斜率,由
得切点由点斜式方程可得切线的方程;
(2)(ⅰ)函数与函数
的图像总有两个交点转化为函数
有两个零点的问题,进而研究
的导数及图像即可.
(ⅱ)先由 (ⅰ) 得的单调性,分析出
、
不可能在同一单调区间内;设
,将
导到
上,利用函数
在
上单调性,欲证
,只需证明
,结合
,只需证明
.再构造
,结合单调性即可证明结论 .
(1)解:由已知得,
∴∴
,又∵
,
曲线在点
处的切线方程为:
.
(2)(ⅰ)令
,
∴,
由得,
;由
得,
易知,
为
极大值点,
又
时
,当
时,
即函数在
时有负值存在,在
时也有负值存在.
由题意,只需满足,
∴的取值范围是:
(ⅱ)由题意知,,
为函数
的两个零点,由(ⅰ)知,不妨设
,则
,且函数
在
上单调递增,欲证
,
只需证明,而
,
所以,只需证明.
令,则
∴.
∵,∴
,即
所以,,即
在
上为增函数,
所以,,∴
成立.
所以,.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注,某校对高一600名学生进行了一次“心理健康”知识测试,并从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分100分)作为样本,绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图。
分组 | 频数 | 频率 |
[50,60) | 2 | 0.04 |
[60,70) | 8 | 0.16 |
[70,80) | 10 | |
[80,90) | ||
[90,100] | 14 | 0.28 |
合计 | 1.00 |
(1)填写答题卡频率分布表中的空格,补全频率分布直方图,并标出每个小矩形对应的纵轴数据;
(2)请你估算学生成绩的平均数及中位数。