Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）若，求直线与曲线的交点的直角坐标；

（2）若点在曲线上，且到直线距离的最大值为，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）和；（2）.

【解析】

（1）求出直线的普通方程，联立直线与曲线的普通方程，即可求得直线与曲线的交点的直角坐标；

（2）求得圆的圆心到直线的距离为，将直线的方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系求得的值，即为直线的斜率.

（1）当时，直线的参数方程为（为参数），

将直线的参数方程化为普通方程得，

曲线的极坐标方程可化为，由可得曲线的普通方程为，

联立，解得或，

因此，直线与曲线的交点的直角坐标为和；

（2）由题意可知，直线是过点且倾斜角为的直线，点在圆上，

圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，

设圆的圆心到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为，得，

在直线的参数方程中消去参数得，

由点到直线的距离公式得，则，

，，

因此，直线的斜率为.