题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)求函数的单调区间;
(2)试问:函数图像上是否存在不同两点
,使得
在
处的切线
平行于直线
,若存在,求出
的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)在
上单调递增,在
上单调递减;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)结合函数的解析式可得,据此可得
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)假设存在两点,不妨设
,则
,且函数在
处的切线斜率
,据此整理计算有:
,令
,则
,则:
,
,利用导函数研究函数的性质可得在
内不存在
,使得
,则函数
图象上是不存在满足题意的点.
试题解析:
(1)由,又
得
故,当时,
,当
时
,
在
上单调递增,在
上单调递减;
(2)假设存在两点,不妨设
,则:
,
,
故=
,
在函数图象处的切线斜率
,
得:
,
化简得:,
,
令,则
,上式化为:
,即
,
若令,
,
由,
在
上单调递增,
,
这表明在内不存在
,使得
.
综上,函数图象上是不存在不同两点
,使得
在
处的切线
平行于直线
.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
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