Question

【题目】设a∈R，f（x）= 为奇函数．
（1）求函数F（x）=f（x）+2x﹣ ﹣1的零点；
（2）设g（x）=2log2（ ），若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[ ， ]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数

∴f（0）=0

∴a=1，f（x）=

F（x）= =

由22x+2x﹣6=0=0，可得2x=2，所以，x=1，

即F（x）的零点为x=1

（2）解：f﹣1（x）= ，在区间[ ]上，由f﹣1（x）≤g（x）恒成立，

∴ 恒成立，即 恒成立

即k2≤1﹣x2，x∈[ ]，

∴ ，k＞0，

所以0＜k≤

【解析】由f（x）是奇函数，可得f（0）=0，可求a，进而可求f（x）（1）令F（x）=0可求函数F（x）的零点（2）由f﹣1（x）≤g（x）恒成立，可得 恒成立，可得k2≤1﹣x2 ， x∈[ ]恒成立，只要k2≤（1﹣x2）min即可求解
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质和函数的零点的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能正确解答此题．