题目内容
19.在平面直角坐标系xOy中,圆C与y轴相切于点M(0,2),且圆心C在直线l:y=2x-4上.(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)已知过点N(4,5)的直线m与圆C交于A,B两点,且|AB|=4$\sqrt{2}$,求直线m的方程.
分析 (Ⅰ)设出圆的方程,利用圆心在直线l上求得a和r,则圆的方程可得.
(Ⅱ)根据弦长和半径可求得圆心到直线m的距离,先看直线斜率不存在时也符合,进而看斜率存在时设出直线方程,利用圆心直线的距离求得k,则直线的方程可得.
解答 (Ⅰ)解:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,r>0,
因为圆C与y轴相切于点M(0,2),所以b=2,|a|=r.
因为圆心C在直线 l:y=2x-4上,所以a=3,r=3.
所以圆C的方程为::(x-3)2+(y-3)2=9,
(Ⅱ)因为弦长为4$\sqrt{2}$,所以圆心到直线m的距离为1
直线m的斜率不存在时,x=4符合;
当直线m的斜率存在时,设直线m:y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,
则d=$\frac{|3k-2+5-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,解得k=$\frac{4}{3}$,即直线方程为4x-3y-1=0
所以x=4或4x-3y-1=0.
点评 本题主要考查了直线圆的方程的综合运用.解题的关键是利用圆心到直线的距离来解决问题.
练习册系列答案
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A. | $\sqrt{3}$-1 | B. | $\sqrt{2}$-1 | C. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |