Question

8．若tanα+cotα=2，则sin⁴α+cos⁴α=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 把已知的等式化切为弦，求出sin$αcosα=\frac{1}{2}$，再由sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2（sinαcosα）²得答案．

解答 解：由tanα+cotα=2，得$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=2$，
即$\frac{1}{sinαcosα}=2$，∴sin$αcosα=\frac{1}{2}$，
则sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2（sinαcosα）²=$1-2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查灵活变形能力，是基础题．