题目内容

7．已知4≤a+c≤8，ac=4，求$\frac{a}{c（c+a）}$+$\frac{c}{a（a+c）}$的取值范围．

分析 化简$\frac{a}{c（c+a）}$+$\frac{c}{a（a+c）}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac（a+c）}$=$\frac{（a+c）^{2}-8}{4（a+c）}$=$\frac{（a+c）}{4}$-$\frac{8}{a+c}$，从而由函数的单调性求取值范围．

解答 解：$\frac{a}{c（c+a）}$+$\frac{c}{a（a+c）}$
=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac（a+c）}$
=$\frac{（a+c）^{2}-8}{4（a+c）}$
=$\frac{（a+c）}{4}$-$\frac{8}{a+c}$，
又∵y=$\frac{x}{4}$-$\frac{8}{x}$在[4，8]上是增函数，
∴-1≤$\frac{（a+c）}{4}$-$\frac{8}{a+c}$≤1；
故$\frac{a}{c（c+a）}$+$\frac{c}{a（a+c）}$的取值范围为[-1，1]．

点评 本题考查了表达式的化简与函数的单调性的应用，属于基础题．

练习册系列答案
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其中正确命题为①④（写出所有正确命题的序号）．

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