Question

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B、A₁P（如图2）


（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-A₁P-F的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3
（1）在图1中，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=AD=2而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，
∴EF⊥AD在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB为二面角A_1-EF-B的平面角．由
题设条件知此二面角为直二面角，A₁E⊥BE，又BE∩EF=E（2）
∴A₁E⊥平面BEF，
即A₁E⊥平面BEP



（3）在图2中，A₁E不垂直A₁B，
∴A₁E是平面A₁BP的垂线，又A₁E⊥平面BEP，
∴A₁E⊥BE．
从而BP垂直于A₁E在平面A₁BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A₁E在平面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于点Q，则∠E₁AQ就是A₁E与平面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q．
在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，
∴△EBP是等边三角形．又A₁E⊥平面BEP，
∴A₁B=A₁P，
∴Q为BP的中点，且EQ=

3

，又A₁E=1，
在Rt△A₁EQ中，tan∠EA1Q=

EQ

A1E

=

3

，
∴∠EA₁Q=60°，
∴直线A₁E与平面A₁BP所成的角为60°



在图3中，过F作FM⊥A₁P与M，连接QM，QF，
∵CP=CF=1，∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1．有PQ=

1

2

BP=1
∴PF=PQ①，
∵A₁E⊥平面BEP，EQ=EF=

3

∴A₁E=A₁Q，
∴△A₁FP≌△A₁QP从而∠A₁PF=∠A₁PQ②，
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B-A₁P-F的平面角．
在Rt△A₁QP中，A₁Q=A₁F=2，PQ=1，又∴A1P=

5

．
∵MQ⊥A₁P，∴MQ=

A1Q•PQ

A1P

=

2 5

5

∴MF=

2 5

5

在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得QF=

3

在△FMQ中，cos∠FMQ=

MF2+MQ2-QF2

2MF•MQ

=-

7

8

∴二面角B-A₁P-F的大小为π-arccos

7

8