题目内容
【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1中点.
(1)求证:DB1⊥平面ABD;
(2)求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵BC=B1C1=1,CD=C1D= BB1=1,∠BCC1=
,∠B1C1D=π﹣∠BCC1=
,
∴BD=1,B1D= ,
∴BB12=BD2+B1D2,∴BD⊥B1D.
∵AB⊥平面BB1C1C,BD平面BB1C1C,
∴AB⊥B1D,又AB平面ABD,BD平面ABD,AB∩BD=B,
∴DB1⊥平面ABD
(2)解:以B为原点,以BB1,BA所在直线为x轴,z轴建立空间直角坐标系B﹣xyz,如图所示:
则A(0,0,2),D( ,
,0),B1(2,0,0),A1(2,0,2),
∴ =(
,﹣
,0),
=(﹣2,0,2),
=(0,0,2).
设平面AB1D的法向量为 =(x1,y1,z1),平面A1B1D的法向量为
=(x2,y2,z2),
则 ,
,即
,
,
令x1=1得 =(1,
,1),令x2=1得
=(1,
,0).
∴cos< ,
>=
=
=
.
∵二面角A﹣B1D﹣A1是锐角,
∴二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值为 .
【解析】(1)利用余弦定理计算BD,B1D,再由勾股定理的逆定理得出BD⊥B1D,由AB⊥平面BB1C1C得出AB⊥B1D,于是得出B1D⊥平面ABD;(2)以B为原点建立坐标系,求出平面AB1D的法向量 ,平面A1B1D的法向量
,计算cos<
,
>即可得出二面角的余弦值.
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