题目内容
已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1?（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，…）定义．（1）求x1、x2和xn的表达式；
（2）求f（x）的表达式，并写出其定义域；
（3）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．
分析：（1）依题意f（0）=0，又由f（x1）=1，进而利用斜率公式得x1=1，再由当n≤y≤n+1?（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），可得xn的递推关系，再利用累加法求得xn的表达式．
（2）先求出f（x）的表达式，再根据b的取值情况分别求得f（x）的定义域．
（3）法1：分情况用数学归纳法证明．
法2：分情况利用当xn＜x≤xn+1时有f（x）-f（xn）=bn（x-x0）＞x-xn（n≥1），从而f（x）-x＞f（xn）-xn．进而得解．
（2）先求出f（x）的表达式，再根据b的取值情况分别求得f（x）的定义域．
（3）法1：分情况用数学归纳法证明．
法2：分情况利用当xn＜x≤xn+1时有f（x）-f（xn）=bn（x-x0）＞x-xn（n≥1），从而f（x）-x＞f（xn）-xn．进而得解．
解答：解：（1）依题意f（0）=0，又由f（x1）=1，当0≤y≤1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b0=1的线段，故由
=1
得x1=1．
又由f（x2）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由
=b，即x2-x1=
得x2=1+
．
记x0=0．由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为bn-1，故得
=bn-1．
又f（xn）=n，f（xn-1）=n-1；
所以xn-xn-1=(
)n-1，n=1，2．
由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为1，公比为
．
因b≠1，得xn=
(xk-xk-1)
=1+
++
=
，
即xn=
．
（2）当0≤y≤1，从Ⅰ可知y=x，当0≤x≤1时，f（x）=x．
当n≤y≤n+1时，即当xn≤x≤xn+1时，由Ⅰ可知f（x）=n+bn（x-xn）?（xn≤x≤xn+1，n=1，2，3）．
为求函数f（x）的定义域，须对xn=
?(n=1，2，3，)进行讨论．
当b＞1时，
xn=
=
；
当0＜b＜1时，n→∞，xn也趋向于无穷大．
综上，当b＞1时，y=f（x）的定义域为[0，
)；
当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为[0，+∞）．
（3）证法一：首先证明当b＞1，1＜x＜
时，恒有f（x）＞x成立．
用数学归纳法证明：
（ⅰ）由（2）知当n=1时，在（1，x2]上，y=f（x）=1+b（x-1），
所以f（x）-x=（x-1）（b-1）＞0成立
（ⅱ）假设n=k时在（xk，xk+1]上恒有f（x）＞x成立．
可得f（xk+1）=k+1＞xk+1，
在（xk+1，xk+2]上，f（x）=k+1+bk+1（x-xk+1）．
所以f（x）-x=k+1+bk+1（x-xk+1）-x=（bk+1-1）（x-xk+1）+（k+1-xk+1）＞0也成立．
由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n在（xn，xn+1]上都有f（x）＞x成立．
即1＜x＜
时，恒有f（x）＞x．
其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立．
故函数y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．
证法二：首先证明当b＞1，1＜x＜
时，恒有f（x）＞x成立．
对任意的x∈(1，
)，存在xn，使xn＜x≤xn+1，
此时有f（x）-f（xn）=bn（x-x0）＞x-xn（n≥1），
所以f（x）-x＞f（xn）-xn．
又f(xn)=n＞1+
++
=xn，
所以f（xn）-xn＞0，
所以f（x）-x＞f（xn）-xn＞0，
即有f（x）＞x成立．
其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立．
故函数f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．
本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．
| f(x1)-f(0) |
| x1-0 |
得x1=1．
又由f（x2）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
| 1 |
| b |
| 1 |
| b |
记x0=0．由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为bn-1，故得
| f(xn)-f(xn-1) |
| xn-xn-1 |
又f（xn）=n，f（xn-1）=n-1；
所以xn-xn-1=(
| 1 |
| b |
由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为1，公比为
| 1 |
| b |
因b≠1，得xn=
| n |
 |
| k=1 |
=1+
| 1 |
| b |
| 1 |
| bn-1 |
b-(
| ||
| b-1 |
即xn=
b-(
| ||
| b-1 |
（2）当0≤y≤1，从Ⅰ可知y=x，当0≤x≤1时，f（x）=x．
当n≤y≤n+1时，即当xn≤x≤xn+1时，由Ⅰ可知f（x）=n+bn（x-xn）?（xn≤x≤xn+1，n=1，2，3）．
为求函数f（x）的定义域，须对xn=
b-(
| ||
| b-1 |
当b＞1时，
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
b-(
| ||
| b-1 |
| b |
| b-1 |
当0＜b＜1时，n→∞，xn也趋向于无穷大．
综上，当b＞1时，y=f（x）的定义域为[0，
| b |
| b-1 |
当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为[0，+∞）．
（3）证法一：首先证明当b＞1，1＜x＜
| b |
| b-1 |
用数学归纳法证明：
（ⅰ）由（2）知当n=1时，在（1，x2]上，y=f（x）=1+b（x-1），
所以f（x）-x=（x-1）（b-1）＞0成立
（ⅱ）假设n=k时在（xk，xk+1]上恒有f（x）＞x成立．
可得f（xk+1）=k+1＞xk+1，
在（xk+1，xk+2]上，f（x）=k+1+bk+1（x-xk+1）．
所以f（x）-x=k+1+bk+1（x-xk+1）-x=（bk+1-1）（x-xk+1）+（k+1-xk+1）＞0也成立．
由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n在（xn，xn+1]上都有f（x）＞x成立．
即1＜x＜
| b |
| b-1 |
其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立．
故函数y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．
证法二：首先证明当b＞1，1＜x＜
| b |
| b-1 |
对任意的x∈(1，
| b |
| b-1 |
此时有f（x）-f（xn）=bn（x-x0）＞x-xn（n≥1），
所以f（x）-x＞f（xn）-xn．
又f(xn)=n＞1+
| 1 |
| b |
| 1 |
| bn-1 |
所以f（xn）-xn＞0，
所以f（x）-x＞f（xn）-xn＞0，
即有f（x）＞x成立．
其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立．
故函数f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．
本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．
点评：本题主要考查函数与数列以及极限的综合知识，考查知识的归纳、推理和综合运用的能力，能力层次要求高，要理解掌握本题的思想方法．
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