Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点．直线l与抛物线C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设

FA

•

FB

=

8

9

，求直线l的方程．

Answer 1

（1）依题意知-

p

2

=-1，解得p=2，
所以抛物线C的方程为y²=4x．（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则D（x₁，-y₁），且设直线l的方程为x=my-1（m≠0）．
将x=my-1代入y²=4x，并整理得y²-4my+4=0，
从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．
所以x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，
x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=1．
因为

FA

=（x₁-1，y₁），

FB

=（x₂-1，y₂），
所以

FA

•

FB

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+4=8-4m²，
所以8-4m²=

8

9

，解得m=±

4

3

，
所以直线l的方程为x=±

4

3

y-1，
即3x-4y+3=0或3x+4y+3=0．（14分）