题目内容
已知椭圆
的离心率为
，两焦点之间的距离为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线
于A、B两点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值．
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
【解析】(1)由2c=4,c/a=1/2,可求出a,进而求出b，问题解决.
（II）（1）若直线的斜率存在，可设直线方程为
然后与抛物线方程联立，消去y转化为
,
借助韦达定理证明
即可.
斜率不存在的情况要单独考虑.
(2) 设
、
，直线
的方程为
，代入，得
．于是
．
，
．可得
．
再证明原点到直线的距离
为定值
解：（Ⅰ）由
得
，故
．
………………………3分
所以，所求椭圆的标准方程为 ……………………………4分
（Ⅱ）（1）若直线的斜率存在，可设直线方程为……………5分
代入抛物线方程整理得
设点A（
）点B（
），则
，
………7分
所以
……………………………………………9分
若直线斜率不存在，则A（4,4）B（4，-4），同样可得…………10分
（2）设、，直线的方程为，代入，得．于是．从而
，．得．∴原点到直线的距离为定值…15分
练习册系列答案
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已知椭圆的离心率为e，两焦点分别为F1、F2，抛物线C以F1为顶点、F2为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若e|PF2|=|PF1|，则e的值为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、以上均不对 |
已知椭圆的离心率为
，焦点是（-3，0），（3，0），则椭圆方程为（ ）
| 1 |
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C：
如图，A，B是椭圆C：