题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,过
的左焦点
的直线
,直线
被圆
:
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设的右焦点为
,在圆
上是否存在点
,满足
,若存在,指出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)不存在点
,满足
.
【解析】试题分析:(1)直线与
轴的交点为
的左焦点,所以
,再根据离心率得
,即得
,(2)先由条件
确定点
轨迹,为一个圆,再根据两圆位置关系确定交点个数.
试题解析:解:(Ⅰ)因为直线的方程为
:
,
令,得
,即
.
,又
,
,
,
∴椭圆的方程为
.
(Ⅱ)∵圆心到直线
:
的距离为
,
又直线:
被圆
:
截得的弦长为
,
∴由垂径定理得,
故圆的方程为
:
.
设圆上存在点
,满足
,即
,
且的坐标为
,则
,
整理得,它表示圆心在
,半径是
的圆.
,
故有,即圆
与圆
没有公共点.
∴圆上不存在点
,满足
.
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