题目内容

已知函数为实数,),,⑴若,且函数的值域为,求的表达式;
⑵设,且函数为偶函数,判断是否大0?
⑶设,当时,证明:对任意实数(其中的导函数) .
(1),(2)成立,(3)证明略.

试题分析:(1)由于的表达式与有关,而确定的表达式只需求出待定系数,因此只要根据题目条件联立关于的两个关系即可;(2)由为偶函数可先确定,而可不妨假设,则,代入的表达式即可判断的符号;(3)原不等式证明等价于证明“对任意实数” 即等价于证明“ ”,可先证,再证.根据不等式性质,可证得.
试题解析:⑴因为,所以,因为的值域为,所以,所以,所以,所以
⑵因为是偶函数,所以,又,所以,因为,不妨设,则,又,所以,此时,所以
⑶因为,所以,又,则,因为,所以,则原不等式证明等价于证明“对任意实数” 即 .
先研究 ,再研究.
① 记,令,得,当单增;当单减. 所以,,即.
② 记,所以,单减,所以,,即.
综上①、②知,.
即原不等式得证,对任意实数.
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