题目内容
6.设f(x)是任意一个函数,其定义域在x轴上关于原点对称(1)判断下列函数的奇偶性:F(x)=$\frac{1}{2}$[f(x)+f(-x)],G(x)=$\frac{1}{2}$[f(x)-f(-x)];
(2)求证:f(x)一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和.
分析 (1)根据条件知F(x)和G(x)的定义域都关于原点对称,并且可得到F(-x)=F(x),G(-x)=-G(x),从而便可得出F(x)为偶函数,G(x)为奇函数;
(2)由(1)显然有f(x)=F(x)+G(x),而F(x)为偶函数,G(x)为奇函数,从而便可得出f(x)一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和.
解答 解:(1)f(x)的定义域关于原点对称;
∴F(x),G(x)的定义域关于原点对称;
又F(-x)=$\frac{1}{2}[f(-x)+f(x)]=F(x)$,$G(-x)=\frac{1}{2}[f(-x)-f(x)]=-G(x)$;
∴F(x)为偶函数,G(x)为奇函数;
(2)证明:由(1)知F(x)为偶函数,G(x)为奇函数;
且f(x)=F(x)+G(x);
∴f(x)一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和.
点评 考查函数定义域的概念及其求法,奇函数、偶函数的定义,及奇函数、偶函数定义域的特点.
练习册系列答案
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