题目内容
【题目】已知函数
(1)当时,关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)求证:对于任意的正整数,不等式
恒成立.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
(1)求出的导数,两次求导,分三种情况讨论,当
时,当
时,当
时,分别求出单调区间,求得最小值,即可得到
的范围;(2)对要证的不等式等价变形,可得
①,且
②,运用(1)中的结论,对①相当于(1)中
, 对②相当于(1)中
,利用单调性即可得证.
(1)由,得
,则
,
①当时,
,则
在
上递增,
∴,∴
在
上递增,
∴,∴
②当时,
,则
在
上递减,
∴,∴
在
上递减,
∴,且仅有
,
∴时,不等式
不恒成立,
③当时,令
,
当时,
,
∴在
上递减,从而
,
∴在
上递增,即
,且仅有
,
∴时,不等式
不恒成立,
综上,的取值范围为:
.
(2)要证对,不等式
恒成立,
即证,
即证,
即证①,且
②,
对①相当于(1)中,有
在
上递减,
即而且仅有
,取
,有
成立,
对②相当于(1)中,有
,
而且仅有
,
取,有
成立,
∴对,不等式
恒成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】李克强总理在2018年政府工作报告指出,要加快建设创新型国家,把握世界新一轮科技革命和产业变革大势,深入实施创新驱动发展战略,不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召,大力研发新产品,争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价,将该款手机按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示:
单价 | ||||||
销量 |
已知.
(1)若变量具有线性相关关系,求产品销量
(百件)关于试销单价
(千元)的线性回归方程
;
(2)用(1)中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值
.当销售数据
对应的残差的绝对值
时,则将销售数据
称为一个“好数据”.现从
个销售数据中任取
个子,求“好数据”个数
的分布列和数学期望
.
(参考公式:线性回归方程中的估计值分别为
.