题目内容
【题目】四棱锥中,底面
为矩形,
,
为
的中点.
(1)证明:;
(2)设,三棱锥
的体积
,求二面角D
AE
C的大小
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
试题(1)可先连结BD交AC于点O,连结EO,根据中位线性质可证明EO//P,从而可得结论;(2)由三棱锥的体积
,可得
,以A为坐标原点,
的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系A—xyz, 分别求出平面DAE与平面ACE的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.
试题解析:(1)连结BD交AC于点O,连结EO
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点
又E为的PD的中点,所以EO//PB
EO平面AEC,PB
平面AEC,所以PB//平面AEC
(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直
如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系A—xyz,
三棱锥的体积
,
则A(0, 0 ,0), D(0, ,0),B(
,0,0),E(0,
,
),C (
,
,0),
则=(0,
,
),
=(
,
,0),设
为平面ACE的法向量,
则 即
令,得
,
,则
又为平面DAE的法向量,
,
如图可得二面角为锐角,所以二面角
为
【方法点晴】
本题主要考查线面平行以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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