Question

1．函数f（x）=x²•$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 记y=x²•$\sqrt{1-{x}^{2}}$，变形可得y²=$\frac{1}{2}$•x²•x²•2（1-x²），由基本不等式可求其最大值，开方可得．

解答 解：记y=x²•$\sqrt{1-{x}^{2}}$，则y²=x²•x²•（1-x²）
=$\frac{1}{2}$•x²•x²•2（1-x²）≤$\frac{1}{2}$•$（\frac{{x}^{2}+{x}^{2}+2-2{x}^{2}}{3}）^{3}$=$\frac{4}{27}$，
∴y=x²•$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$\sqrt{\frac{4}{27}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$
当且仅当x²=2（1-x²）即x=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$时取等号，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{9}$

点评 本题考查基本不等式，属基础题．