题目内容
12．已知曲线C1的极坐标方程：ρ=2cosθ+4sinθ，曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}{t}^{2}}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数）．（1）在平面直角坐标系中以原点为极点，x的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1与曲线C2的公共弦AB的极坐标方程；
（2）在曲线C2上是否恰好在不同的三点P1、P2、P3，使得这三点到直线AB的距离都等于$\frac{3\sqrt{2}}{8}$？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
分析 （1）将方程转化，联立求出交点坐标，可得曲线C1与曲线C2的公共弦AB的极坐标方程；
（2）设P（x，y），到直线AB的距离为$\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，求出y，即可得出结论．
解答 解：（1）曲线C1的极坐标方程：ρ=2cosθ+4sinθ，直角坐标方程为（x-1）2+（y-2）2=5
曲线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}{t}^{2}}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为y2=3x，
两方程联立可得交点坐标分别为（0，0），（3，3），
所以AB的方程为y=x，极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$；
（2）设P（x，y），到直线AB的距离为$\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∴|$\frac{{y}^{2}}{3}$-y|=$\frac{3}{4}$，
∴4y2-12y±9=0，
∴y=$\frac{3}{2}$或$\frac{3±3\sqrt{2}}{2}$，
∴曲线C2上恰好在不同的三点P1、P2、P3，使得这三点到直线AB的距离都等于$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
点评 本题考查极坐标与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．
练习册系列答案
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