题目内容

【题目】已知函数f(x)=lnx﹣a ,a∈R. (Ⅰ)讨论f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x≠1时, 恒成立,求a的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)定义域是(0,+∞), . 令g(x)=x2+2(1﹣a)x+1.
①当△=4(1﹣a)2﹣4≤0,即0≤a≤2时,g(x)≥0恒成立,即f'(x)≥0,
所以f(x)的单调增区间为(0,+∞);
②当△=4(1﹣a)2﹣4>0时,即a<0或a>2时,方程g(x)=0有两个不等的实根,
若a<0,由x1+x2=2(a﹣1)<0,x1x2=1>0得,x1<0,x2<0,
所以g(x)>0在(0,+∞)成立,即f'(x)>0,所以f(x)的单调增区间为(0,+∞);
若a>2,由x1+x2=2(a﹣1)>0,x1x2=1>0得,x1>0,x2>0,
由g(x)>0得x的范围是(0,x1),(x2 , +∞),由g(x)<0得x的范围(x1 , x2),
即f(x)的单调递增区间为(0,x1),(x2 , +∞),f(x)的单调递减区间为(x1 , x2).
综上所述,当a>2时,f(x)的单调递增区间为 ,f(x)的单调递减区间为
当a≤2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无递减区间.
(Ⅱ)由 ,得
,即 ,即
①由(Ⅰ)可知当a≤2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),又f(1)=0,
所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f(x)>0;
又当x∈(0,1)时, ,当x∈(1,+∞)时,
所以 ,即原不等式成立.
②由(Ⅰ)可知当a>2时,f(x)在(0,x1),(x2 , +∞)单调递增,在(x1 , x2)单调递减,
且x1x2=1,得x1<1<x2 , f(x2)<f(1)=0,
,所以 与条件矛盾.
综上所述,a的取值范围是(﹣∞,2].
【解析】(Ⅰ)定义域是(0,+∞), .令g(x)=x2+2(1﹣a)x+1.对△=4(1﹣a)2﹣4与0的大小,分类讨论,即可得出单调性. (Ⅱ)由 ,得 ,即 ,即 ,即 .对a分类讨论,利用(I)的f(x)的单调性,即可得出.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值即可以解答此题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网