题目内容

4.已知函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:当x∈(0,1)时,$f(x)>2({x+\frac{x^3}{3}})$.

分析 (1)求得函数的导数,求得切线的斜率和切点坐标,即可得到所求切线的方程;
(2)构造函数y=ln$\frac{1+x}{1-x}$-2(x+$\frac{{x}^{3}}{3}$),0<x<1,求得导数,判断符号,由单调性即可得证.

解答 解:(1)f(x)=ln$\frac{1+x}{1-x}$的导数为
f′(x)=$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{2}{(x-1)^{2}}$=-$\frac{2}{{x}^{2}-1}$,
可得在点(0,f(0))处的切线斜率为2,切点(0,0),
即有在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x;
(2)证明:由y=ln$\frac{1+x}{1-x}$-2(x+$\frac{{x}^{3}}{3}$),0<x<1,
导数为y′=$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{2}{(1-x)^{2}}$-2(1+x2
=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-2(1+x2),
由0<x<1可得y′=$\frac{2{x}^{4}}{1-{x}^{2}}$>0,
即有导数y′>0在(0,1)恒成立,
则有函数ln$\frac{1+x}{1-x}$-2(x+$\frac{{x}^{3}}{3}$)在(0,1)递增,
则有ln$\frac{1+x}{1-x}$-2(x+$\frac{{x}^{3}}{3}$)>0,
故当x∈(0,1)时,$f(x)>2({x+\frac{x^3}{3}})$.

点评 本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间,考查不等式的证明,注意运用单调性,属于中档题.

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