题目内容
【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当
时，车流速度
是车流密度
的一次函数．
（1）当
时，求函数
的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
【答案】（1）
；
（2）当车流密度为
辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约
辆/小时.
【解析】试题分析：（1）设v（x）=ax+b.利用x的范围，列出方程组求解a，b，即可得到函数的解析式；（2）求出车流量f（x）=v（x）x的表达式，然后求解最大值即可
试题解析：（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）＝60；
当20≤x≤200时，设v（x）＝ax＋b，
再由已知得
解得
故函数v（x）的表达式为
（2）依题意并由（1）可得
f（x）＝
当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x≤200时，f（x）＝
x（200－x）≤
[
]2＝
，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立.
所以，当x＝100时，f（x）在区间上取得最大值
.
综上，当x＝100时，f（x）在区间上取得最大值
≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时.
【题目】计划在某水库建一座至多安装
台发电机的水电站，过去
年的水文资料显示，水库年入流量
（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，不足
的年份有
年，不低于
且不超过
的年份有
年，超过
的年份有
年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来
年中，设
表示流量超过
的年数，求
的分布列及期望；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
限制，并有如下关系：
年入流量 |
|
|
|
发电机最多可运行台数 |
|
|
|
若某台发电机运行，则该台年利润为
万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损
万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
