题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,平面,,点分别在棱和棱上,且为棱的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.
(Ⅰ)计算出向量和的坐标,得出,即可证明出;
(Ⅱ)可知平面的一个法向量为,计算出平面的一个法向量为,利用空间向量法计算出二面角的余弦值,利用同角三角函数的基本关系可求解结果;
(Ⅲ)利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
依题意,以为原点,分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),
可得、、、、
、、、、.
(Ⅰ)依题意,,,
从而,所以;
(Ⅱ)依题意,是平面的一个法向量,
,.
设为平面的法向量,
则,即,
不妨设,可得.
,
.
所以,二面角的正弦值为;
(Ⅲ)依题意,.
由(Ⅱ)知为平面的一个法向量,于是.
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
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