题目内容

【题目】如图,在三棱柱中,平面,点分别在棱和棱上,且为棱的中点.


(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求二面角的正弦值;

(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).

【解析】

为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.

)计算出向量的坐标,得出,即可证明出

)可知平面的一个法向量为,计算出平面的一个法向量为,利用空间向量法计算出二面角的余弦值,利用同角三角函数的基本关系可求解结果;

)利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

依题意,以为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),

可得

.

)依题意,

从而,所以

)依题意,是平面的一个法向量,

为平面的法向量,

,即

不妨设,可得

所以,二面角的正弦值为

)依题意,

由()知为平面的一个法向量,于是

所以,直线与平面所成角的正弦值为.

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