题目内容
【题目】在三棱锥中,
.
(1)求证:;
(2)若点 为
上一点,且
,求直线
与平面
所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点E,连接
,然后由等腰三角形的性质推出
,从而利用线面垂直的判定定理与性质可使问题得证;
(2)以为坐标原点建立空间直角坐标系,然后求出相关点的坐标,再求出平面
的一个法向量,从而利用空间向量的夹角公式求解即可.
解:
(1)证明:取的中点E,连接
,
∵,∴
,
同理可得,
又,∴
平面
,
又平面
,∴
.
(2)∵,
∴为等腰直角三角形,且
,
∴,∴
,即
,
又,且
,∴
平面
,
∴以为坐标原点,
所在直线为x轴,
所在直线为y轴,
所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∴,
设,∵
,
,
∴,
∴∴
,
∴,
又,
设是平面
的法向量,
则
令,得
,∴
,
设直线与平面
所成角为
,
则
,
∴直线与平面
所成角的正弦值为
.
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质量指标值分组 | |||||
频数 |
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