题目内容

如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A,点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M是该平面上的一个动点,M在l1上的射影点是N,且|BN|=2|DM|.

(Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M的轨迹C的方程.

(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点;另外平面上的点G、H满足:①求点G的横坐标的取值范围.

(Ⅰ) 以A点为坐标原点,l1为x轴,建立如图所示的坐标系,则D(1,0),B(4,0),动点M的轨迹方程为.

(Ⅱ点G的横坐标的取值范围为(0,).


解析:

(Ⅰ) 以A点为坐标原点,l1为x轴,建立如图所示的坐标系,则D(1,0),B(4,0),设M(x,y),

则N(x,0).   

∵|BN|=2|DM|,    ∴|4-x|=2,

整理得3x2+4y2=12,    ∴动点M的轨迹方程为.

(Ⅱ)∵

∴A、D、G三点共线,即点G在x轴上;又∵∴H点为线段EF的中点;又∵∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。        

设l:y=k(x-1)(k≠0),代入3x2+4y2=12得

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由于l过点D(1,0)是椭圆的焦点,

∴l与椭圆必有两个交点,

设E(x1,y1),F(x2,y2),EF的中点H的坐标为(x0,y0),

∴x1+x2=,x1x2=  ,      

x0= = ,y0=k(x0-1)= ,   

∴线段EF的垂直平分线为

y- y0 =-  (x-x0),令y=0得,

点G的横坐标xG = ky0+x0 = + =

=

∵k≠0,∴k2>0,∴3+4k2>3,0<<,∴-<-<0,

∴xG= (0,

∴点G的横坐标的取值范围为(0,).

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