题目内容
已知l1，l2，l3是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．（Ⅰ）如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，求这个正三角形ABC的边长；
（Ⅱ）如图，如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，如果能放，求BC和l3夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，说明为什么？
（Ⅲ）如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，设l1与l2的距离为d1，l2与l3的距离为d2，求d1•d2的范围？
分析：（Ⅰ）根据A、C到直线l2的距离相等，可得l2 过AC的中点M，l2⊥AC，从而求得边长AC=2AM 的值．
（Ⅱ）假设能放，设边长为aBC与l3的夹角为θ，不妨设0°＜θ≤60°，可得asinθ=2，asin（60°-θ）=1．
两式相比化简可得sinθ=
，由此求得边长a的值，从而得出结论．
（Ⅲ）利用两角和差的正弦、余弦公式化简d1•d2 =4sin（60°-θ） sinθ 为 2sin（2θ+30°）-1，再根据正弦函数的定义域和值域求得d1•d2的范围．
（Ⅱ）假设能放，设边长为aBC与l3的夹角为θ，不妨设0°＜θ≤60°，可得asinθ=2，asin（60°-θ）=1．
两式相比化简可得sinθ=
| ||
|
（Ⅲ）利用两角和差的正弦、余弦公式化简d1•d2 =4sin（60°-θ） sinθ 为 2sin（2θ+30°）-1，再根据正弦函数的定义域和值域求得d1•d2的范围．
解答：解：（Ⅰ）∵A、C到直线l2的距离相等，∴l2 过AC的中点M，∴l2⊥AC，∴边长AC=2AM=2．
（Ⅱ）假设能，设边长为a，BC与l3的夹角为θ，由对称性，不妨设0°＜θ≤60°，
∴asinθ=2，asin（60°-θ）=1．
两式相比得：sinθ=2sin（60°-θ），即 sinθ=
cosθ-sinθ，
∴2sinθ=
cosθ，∴tanθ=
，∴sinθ=
，故边长a=
=
．综上可得，能放．
（Ⅲ）d1•d2 =4sin（60°-θ）sinθ=4（
cosθ-
sinθ） sinθ
=2（
sin2θ-
）=2sin（2θ+30°）-1．
∵0°＜θ≤60°，∴30°＜2θ+30°≤150°，
＜2sin（2θ+30°）≤1，∴d1•d2 ∈（0，1]，
即d1•d2的范围是 （0，1]．
（Ⅱ）假设能，设边长为a，BC与l3的夹角为θ，由对称性，不妨设0°＜θ≤60°，
∴asinθ=2，asin（60°-θ）=1．
两式相比得：sinθ=2sin（60°-θ），即 sinθ=
| 3 |
∴2sinθ=
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
|
| 2 | ||||||
|
2
| ||
| 3 |
（Ⅲ）d1•d2 =4sin（60°-θ）sinθ=4（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=2（
| ||
| 2 |
| 1+cos2θ |
| 2 |
∵0°＜θ≤60°，∴30°＜2θ+30°≤150°，
| 1 |
| 2 |
即d1•d2的范围是 （0，1]．
点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，
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